【数学】球の表面積を積分で計算してもうまくいかない人へ

物体の表面積を計算する時の手法としては展開図を描いて計算する方法もあるのですが、微分積分を使っても算出することが可能です。特に球の場合は展開図が描けないため微分積分を用いて計算することになると思います。ここでは球の表面積を算出しようとしてもなぜかうまくいかない人向けに解説したいと思います。

球の表面積と体積

まずいきなり答えになりますが、球の表面積\(S\)と球の体積\(V\)は半径を\(R\)とすると以下の通りになります

球の表面積の間違った算出方法

はじめに球の表面積の計算方法として間違ったものを紹介したいと思います。なぜ間違っているのかを理解することも重要ですね。

以下の記事でも紹介していますが、表面積を計算するためにはどのような線がいっぱい集まって表面積を構成しているかをイメージする必要があります。

【数学】積分を使って面積や体積を計算する方法を分かりやすく解説

今回は半径\(R\)の球の表面が右図のように\(xy\)平面上の円が無数に集まって表面積を構成していることを考えます。

原点からz地点の円の半径は下図の通り\(\sqrt{ R^2-z^2 }\)となりますので、求めたい円周の長さは\(2π\sqrt{ R^2-z^2 }\)となります。

よって、積分範囲は\(z\)軸方向に\(-R\)から\(R\)なので、表面積\(S\)は以下の式で求めることができそうです。

$$ S = \int_{-R}^{R} 2π\sqrt{ R^2-z^2 }dz $$

この式が自力で作れたなら積分に関しては理解できていると思って大丈夫だと思います。

ただ残念ながら、この式では間違った表面積が出てしまいます。積分の計算式の詳細は省略しますが、ひとまず解いた結果がどうなるか確認してみましょう。

$$ S = \int_{-R}^{R} 2π\sqrt{ R^2-z^2 }dz $$

$$  = π^2 R^2 $$

 

本当の表面積は\(4πR^2\)なので、この式では求まらないことがわかります。ちなみに本当の表面積と今回間違って計算した表面積の比率を確認してみましょう。比率を\(α\)とすると

$$ α=\frac{π^2 R^2}{4πR^2}≒0.785… $$

となり今回の計算式では2割くらい表面積が足りていないという結果になっています。つまり、円周の線で球の表面を覆いつくしたつもりでも実は覆いつくせていなかったことになります。実際に\(z\)軸方向からこの球の表面を見てみると以下のようになっているはずです。

本当は球の表面が線ですべて覆われているはずですが、そうなっていません。\(z\)軸が0付近は密度は高いのですが、0から遠くなるにつれて線の密度が低くなっており、変化率が異なっていることが分かります。以上の理由から円周の線だけでは球の表面を覆いつくせていないことがイメージできるかと思います。

球の表面積①

先ほどの例では、球の表面積は求めることができなかったので、今度は積分する方向を変えてみたいと思います。
\(xy\)平面の円があることは変わらないのですが、\(x\)軸から\(z\)軸に向けて\(θ\)を動かすことを考えます。

このとき\(dθ\)の扇型の円周の長さ\(l_{1}\)は以下のようになります。

$$ l_{1} = 2πR \frac{dθ}{2π} = Rdθ$$

となります。またこの短い線（点）は\(z\)軸を中心に円を描くことになるので、円の半径\(Rcosθ\)を用いて円周\(l_{2}\)を表すと

$$ l_{2} = 2πRcosθ $$

よって表面積\(S\)は\(l_{1}\)と\(l_{2}\)をかけたものを積分することになります。

また、積分範囲は\(θ\)を\(0\)から\(\frac{π}{2}\)まで動かすことを考えると、これは球の表面の半分を占めることになります。

よって表面積\(S\)は以下の式で計算することができます。

$$ S = 2\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2πRcosθ R dθ $$

$$ S = 4πR^2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cosθdθ $$

$$ S = 4πR^2 $$

今度は正しく表面積を求めることができました。

球の表面積②

今度は少し違う考え方で球の表面積を出してみたいと思います。球の表面積を出す前に立方体の表面積の出し方を考えてみます。

立方体の表面積の計算

1辺が\(2a\)の立方体を考えてみます。展開図を考えるとこの立方体の表面積は\(2a×2a×6\)となり\(24a^2\)になります。

ここで積分を使って表面積を計算する方法を考えてみたいと思います。まず立方体の表面積が\(S\)であるとします。また、体積\(V\)は\(2a×2a×2a\)となり\(8a^3\)です。

今、立方体の表面積が\(S\)とするならば、表面積を0から\(a\)まで重ねていけば体積\(V\)になるはずです。

よって体積\(V\)は以下のようになります。

$$ \int_0^a S dx = V $$

\(V\)は\(8a^2\)なので、

$$ \int_0^a S dx = 8a^3 $$

になります。積分して\(8a^3\)になるような\(S\)を考えることになります。つまり、\(8a^3\)を微分すれば良いことになりますので、

$$ \int_0^a 24x^2 dx = 8a^3 $$

という式になります。

この結果から表面積は\(24a^2\)ということが分かります。

体積が分かれば表面積を計算できるケースがあるということを覚えておきましょう。

球の表面積の計算

それでは先ほど説明した立方体の表面積の計算方法で球の表面積を計算してみましょう。

まず球の体積\(V\)は\(\frac{4πR^3}{3}\)です。よって表面積を\(S\)とすると

$$ \int_0^R S dr = \frac{4πR^3}{3} $$

これを満たす\(S\)を考えると以下の式になります。

$$ \int_0^R 4πr^2 dr = \frac{4πR^3}{3} $$

よって、球の表面積は\(4πR^2\)になります。